Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{2ax+4，x≥3}\\{\frac{ax+2}{x-2}，2＜x＜3}\end{array}}$在區(qū)間（2，+∞）為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍（　�。�

• A． a＜-1
• B． -1＜a＜0
• C． $-1＜a≤-\frac{1}{2}$
• D． $-1＜a≤-\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，討論x≥3時，f（x）是一次函數(shù)，當(dāng)2＜x＜3時，函數(shù)f（x）=a+$\frac{2a+2}{x-2}$，為冪函數(shù)，再利用端點處的函數(shù)值即可得出滿足條件的a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x≥3時，函數(shù)f（x）=2ax+4為減函數(shù)，則a＜0，f（x）_max=f（3）=6a+4，
當(dāng)2＜x＜3時，函數(shù)f（x）=$\frac{ax+2}{x-2}$=$\frac{a（x-2）+2a+2}{x-2}$=a+$\frac{2a+2}{x-2}$，為減函數(shù)，則2a+2＞0，即a＞-1，此時f（x）＞f（3）=3a+2，
∵函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{2ax+4，x≥3}\\{\frac{ax+2}{x-2}，2＜x＜3}\end{array}}$在區(qū)間（2，+∞）為減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a＞-1}\\{6a+4≤3a+2}\end{array}\right.$，
解得-1＜a≤-$\frac{2}{3}$，
故選：D

點評 本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．