Question

4．函數(shù)f（x）=ln（x+1）-mx在區(qū)間（0，1）恒為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，1]
• C． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$
• D． $（-∞，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，則x∈（0，1）時(shí)，f'（x）=$\frac{1}{x+1}$-m≥0恒成立，即m≤$\frac{1}{x+1}$恒成立，然后再轉(zhuǎn)化為m$≤（\frac{1}{x+1}）_{min}$．由于$y=\frac{1}{x+1}$在（0，1）上單調(diào)遞減，故$\frac{1}{x+1}＞\frac{1}{2}$，從而m的取值范圍為（-$∞，\frac{1}{2}]$

解答 解：∵f（x）=ln（x+1）-mx在區(qū)間（0，1）恒為增函數(shù)，
∴x∈（0，1）時(shí)，f'（x）=$\frac{1}{x+1}$-m≥0恒成立，
即x∈（0，1）時(shí)，m≤$\frac{1}{x+1}$恒成立，
∵$y=\frac{1}{x+1}$在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴$\frac{1}{x+1}$＞$\frac{1}{2}$，
∴$m≤\frac{1}{2}$，即m的取值范圍為（-$∞，\frac{1}{2}]$．
故選C

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，屬于中檔題