Question

14．已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=$\sqrt{2}$，A為PB邊上一點，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求證：平面PAD⊥平面PCD．
（2）在線段PB上是否存在一點M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分的體積之比為V_{多面體PDCMA}：V_{三棱錐M-ACB}=2：1？
（3）在M滿足（2）的條件下，判斷PD是否平行于平面AMC．

Answer 1

分析 （1）證明平面與平面垂直是要證明CD⊥面PAD；
（2）已知V_{多面體PDCMA}：V_{三棱錐M-ACB}體積之比為2：1，求出V_M-ACB：V_P-ABCD體積之比，從而得出兩多面體高之比，從而確定M點位置．
（3）利用反證法證明當(dāng)M為線段PB的中點時，直線PD與平面AMC不平行．

解答 解：（1）因為PDCB為等腰梯形，PB=3，DC=1，PA=1，則PA⊥AD，CD⊥AD．
又因為面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，CD?面ABCD，故CD⊥面PAD．
又因為CD?面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．
（2）所求的點M即為線段PB的中點，證明如下：
設(shè)三棱錐M-ACB的高為h₁，四棱錐P-ABCD的高為h₂
當(dāng)M為線段PB的中點時，$\frac{{h}_{1}}{{h}_{2}}$=$\frac{MB}{PB}=\frac{1}{2}$．
所以$\frac{{V}_{M-ACB}}{{V}_{p-ABCD}}=\frac{\frac{1}{3}{S}_{MCB}{h}_{1}}{\frac{1}{3}{S}_{ABCD}{h}_{2}}$=$\frac{1}{3}$
所以截面AMC把幾何體分成的兩部分V_PDCMA：V_M-ACB=2：1．
（3）當(dāng)M為線段PB的中點時，直線PD與面AMC不平行．
證明如下：（反證法）假設(shè)PD∥面AMC，連接DB交AC于點O，連接MO．
因為PD?面PDB，且面AMC∩面PBD=MO，所以PD∥MO．
因為M為線段PB的中點時，則O為線段BD的中點，即$\frac{DO}{OB}=\frac{1}{1}$．
面AB∥DC，故$\frac{DO}{OB}=\frac{DC}{AB}=\frac{1}{2}$，故矛盾．
所以假設(shè)不成立，故當(dāng)M為線段PB的中點時，直線PD與平面AMC不平行．

點評 本題主要考查面面垂直的判定定理、多面體體積、線面平行判定以及反證法的應(yīng)用，屬于中等難度題．