Question

11．已知異面直線a，b，A∈a，B∈b，AB的中點(diǎn)為O，平面α滿足a∥α，
b∥α，且O∈α，M．N是a，b上的任意兩點(diǎn)，MN∩α=P，
（1）求證：P是MN的中點(diǎn)；
（2）若AM=8，BN=6，a，b所成的角為60⁰，求OP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接AN交平面α 于Q，連接OQ、PQ，推導(dǎo)出BN∥OQ，PQ∥AM，由此能證明P為MN的中點(diǎn)．
（2）推導(dǎo)出OQ=3，PQ=4，∠PQO=60°，或∠PQO=120°，由此能求出OP的長(zhǎng)．

解答 證明：（1）連接AN交平面 α 于Q，連接OQ、PQ，
∵A∉b，∴A、b可確定平面β，
∴α∩β=OQ，由b∥α 得 BN∥OQ．
∵O為AB的中點(diǎn)，∴Q為AN的中點(diǎn)．
同理 PQ∥AM，故P為MN的中點(diǎn)．
解：（2）由（1）得OQ∥BN，且OQ=$\frac{1}{2}$BN=3，
PQ∥AM，且PQ=$\frac{1}{2}$AM=4，
∵a，b所成的角為60⁰，∴∠PQO=60°或∠PQO=120°，
當(dāng)∠PQO=60°時(shí)，
OP=$\sqrt{O{Q}^{2}+P{Q}^{2}-2×OQ×PQ×cos∠PQO}$
=$\sqrt{9+16-2×3×4×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{13}$；
當(dāng)∠PQO=120°時(shí)，
OP=$\sqrt{O{Q}^{2}+P{Q}^{2}-2×OQ×PQ×cos∠PQO}$
=$\sqrt{9+16+2×3×4×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{37}$．
∴OP的長(zhǎng)為$\sqrt{13}$或$\sqrt{37}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)為線段中點(diǎn)的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．