Question

19．如圖所示，正方體A′B′C′D′-ABCD中，棱長(zhǎng)為a，求異面直線B′D′與C′A所成的角．

Answer 1

分析 解法一：通過(guò)平移，找到兩條異面直線所成角，在進(jìn)行計(jì)算其角的大�。�連接AC，BD交于O，取CC′的中點(diǎn)E，連接OE，則OE∥C′A，BD∥B′D′，異面直線B′D′與C′A所成的角等于OE與BD所成的角，在三角形OEC中求三邊的關(guān)系即可得到角的大�。�
解法二：通過(guò)證明其之間的關(guān)系，∵CC′⊥底面ABCD，∴CC′⊥AC，AC⊥BD
在直角三角形ACC′中，CC′⊥AC，AC⊥BD∴AC′⊥BD又BD∥B′D′，故AC′⊥B′D′，即可得到角的大�。�

解答 解：解法一：
連接AC，BD交于O，取CC′的中點(diǎn)E，連接OE，則OE∥C′A，BD∥B′D′，異面直線B′D′與C′A所成的角等于OE與BD所成的角，
正方體A′B′C′D′-ABCD的棱長(zhǎng)為a；
∵OE∥C′A，且OE=$\frac{1}{2}$C′A=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$
EC═$\frac{1}{2}$CC′=$\frac{1}{2}a$
在三角形OEC中：EO²=CE²+OC²．
故得OE與BD所成的角為$\frac{π}{2}$．
所以：異面直線B′D′與C′A所成的角為$\frac{π}{2}$．
解法二：
連接AC，BD交于O，BD∥B′D′，
∵CC′⊥底面ABCD，
∴CC′⊥AC，AC⊥BD．
在直角三角形ACC′中，CC′⊥AC，AC⊥BD，
∴AC′⊥BD
又BD∥B′D′，
故AC′⊥B′D′，
所以異面直線B′D′與C′A所成的角為$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法，屬于基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．