Question

3．如圖所示，在四邊形ABCD中，AC交BD于點E，AE×EC=BE×DE．
（1）求證：A，B，C，D四點共圓；
（2）過D作四邊形ABCD外接圓的切線交BC的延長線于F，BD×CF=DF×BC，求證：DC平分∠BDF．

Answer 1

分析 （1）由已知AE×EC=BE×DE，可分別證得△BEC∽△DEA，△BEA∽△DEC，進而∠EBC=∠EAD，∠ECB=∠EDA，∠EBA=∠ECD，∠EAB=∠EDC，結合四邊形內角和為360°，可得四邊形ABCD對角互補，即A，B，C，D四點共圓；
（2）由切割線定理，及相似三角形對應邊成比例，結合已知中BD×CF=DF×BC，可得BC=CD，進而根據弦切角定理和等腰三角形兩底角相等，可得∠FDC=∠CDB，即DC平分∠BDF．

解答 證明：（1）∵AE×EC=BE×DE
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{DE}{EC}$，
又∵∠BEC=∠DEA，
∴△BEC∽△DEA，
∴∠EBC=∠EAD，∠ECB=∠EDA，
同理可證：∠EBA=∠ECD，∠EAB=∠EDC，
又由∠EBC+∠EAD+∠ECB+∠EDA+∠EBA+∠ECD+∠EAB+∠EDC=360°，
∴∠EBC+∠EBA+∠EDA+∠EDC=∠ECD+∠ECB+∠EAB+∠EAD=180°
故A，B，C，D四點共圓；
（2）如圖所示：∵DF與圓O相切，
∴DF²=CF•BF，
∴$\frac{DF}{CF}=\frac{BF}{DF}$，
又∵BD×CF=DF×BC，
∴$\frac{DF}{CF}=\frac{BD}{BC}$
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BF}{DF}$=$\frac{BD}{CD}$，
∴BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
又由∠FDC=∠CBD，
∴∠FDC=∠CDB，
即DC平分∠BDF．

點評 本題考查的知識點是圓內接四邊形的性質與判定，相似三角形的判定與性質，與圓有關的比例線段，弦切角定理，圓周角定理，是平面幾何的綜合應用，難度中檔．