Question

2．在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點(diǎn)，AB=AC=1，PA=2，則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為x軸，以AC為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知條件分別求出向量$\overrightarrow{AP}$和平面DEF的一個(gè)法向量，利用向量法能求出直線PA與平面DEF所成角的正弦值．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為x軸，以AC為y軸，以AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點(diǎn)，
AB=AC=1，PA=2，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），
D（$\frac{1}{2}$，0，0），E（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），F(xiàn)（0，$\frac{1}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{DF}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面DEF的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}y=0}\\{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，則$\overrightarrow{n}$=（（1，0，$\frac{1}{2}$），
設(shè)PA與平面DEF所成的角為θ，則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{1}{2×\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角，考查向量法，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．