Question

2．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2，AB=BC=1，Q為PD中點．
（Ⅰ）求證：PD⊥BQ；
（Ⅱ）求直線BQ與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸的空間直角坐標(biāo)系，證明$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{BQ}$=0，即可證明PD⊥BQ；
（Ⅱ）求出平面PCD的法向量，利用向量的夾角公式求直線BQ與平面PCD所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又AD⊥AB，如圖，建立以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸的空間直角坐標(biāo)系．…（2分）
由已知，PA=AD=2，AB=BC=1，AD∥BC．
所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）…（4分）
又Q為PD中點，所以Q（0，1，1）．
所以$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{BQ}$=（-1，1，1），
所以$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{BQ}$=0，…（6分）
所以PD⊥BQ．…（7分）
（Ⅱ）解：設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則∵$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b-2c=0}\\{-a+b=0}\end{array}\right.$，…（9分）
令c=1，得a=b=1，∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．…（11分）
∵$\overrightarrow{BQ}$=（-1，1，1），
∴直線BQ與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{-1+1+1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．…（14分）

點評 本題考查直線與直線垂直的證明，考查直線BQ與平面PCD所成角的正弦值的求法，正確運用向量法是解題的關(guān)鍵．