Question

13．觀察如圖：
1，
2，3
4，5，6，7
8，9，10，11，12，13，14，15，
…
問(wèn)：（1）此表第n行的最后一個(gè)數(shù)是多少？
（2）此表第n行的各個(gè)數(shù)之和是多少？
（3）2010是第幾行的第幾個(gè)數(shù)？
（4）是否存在n∈N*，使得第n行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為2²⁷-2¹³-120？若存在，求出n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）觀察已知排列的數(shù)，依次正整數(shù)的個(gè)數(shù)是，1，2，4，8，…，分析得出是規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求出第n行的最后一個(gè)數(shù)．
（2）由（1）得到第n行的第一個(gè)數(shù)，且此行一共有2 ^n-1個(gè)數(shù)，從而利用等差數(shù)列的求和公式即可計(jì)算第n行的各個(gè)數(shù)之和；
（3）由（1）可知第n行的最后一個(gè)數(shù)是2ⁿ-1，即可推斷
（4）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即存在n使得S′=2²⁷-2¹³-120，再利用（II）的結(jié)論，構(gòu)建等式，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答 解：（1）由已知得出每行的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是1，2，4，8，…，其規(guī)律：
1=2^1-1，
2=2^2-1，
4=2^3-1，
8=2^4-1，
…，
由此得出第n行的第一個(gè)數(shù)為：2^n-1，共有2^n-1個(gè)，
所以此表第n行的最后一個(gè)數(shù)是2ⁿ-1
（2）由（1）得到第n行的第一個(gè)數(shù)，且此行一共有2 ^n-1個(gè)數(shù)，從而利用等差數(shù)列的求和公式得：
第n行的各個(gè)數(shù)之和S=$\frac{{2}^{n-1}（{2}^{n-1}+{2}^{n}-1）}{2}$=$\frac{3}{8}$•4ⁿ-$\frac{1}{4}$•2ⁿ=3×2^2n-3-2^n-2，
（3）由（1）可知第n行的最后一個(gè)數(shù)是2ⁿ-1，
當(dāng)n=11時(shí)，最后一個(gè)數(shù)字為1023，
當(dāng)n=12時(shí)，最后一個(gè)數(shù)字為2047，
所以2010在第第12行，2010-1023=987，
故2010是第12行的第987個(gè)數(shù)；
（III）第n行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和S=$\frac{3}{8}$•4ⁿ（1+4+…+4⁹）-$\frac{1}{4}$•2ⁿ=（1+2+…+2⁹）
=2^n-2（2ⁿ⁺¹⁹-2^n-1-1023），
又2²⁷-2¹³-120=2³（2²⁴-2¹⁰-15）
若存在n使得S′=2²⁷-2¹³-120，
則2^n-2（2ⁿ⁺¹⁹-2^n-1-1023）=2³（2²⁴-2¹⁰-15）…（*）
所以n-2≥3，所以n≥5．n=5時(shí)，（*）式成立，
n＞5時(shí)由（*）可得2^n-5（2ⁿ⁺¹⁹-2^n-1-1023）=2²⁴-2¹⁰-15，
此等式左邊偶數(shù)右邊奇數(shù)，不成立．
所以滿足條件的n=5．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合、圖形數(shù)字的變化類問(wèn)題，同時(shí)考查學(xué)生分析歸納問(wèn)題的能力，其關(guān)鍵是從每行的正整數(shù)個(gè)數(shù)1，2，4，8，…這列數(shù)找出規(guī)律解答．