Question

2．2015年7月31日，國際奧委會在吉隆坡正式宣布2022年奧林匹克冬季運動會（簡稱冬奧會）在北京和張家口兩個城市舉辦，某中學為了普及冬奧會知識，舉行了一次奧運會知識競賽，隨機抽取20名學生的成績（滿分為100分）如表：

男生	93	91	90	86	83	80	76	69	67	65
女生	96	87	85	83	79	78	77	74	73	68

（1）根據兩組數據完成男、女生成績的莖葉圖，并比較男、女生成績的平均值及分散程度；
（2）從成績80分以上（含80分）的學生中抽取4人，要求4人中必須既有男生又有女生，用X表示所選4人中男生與女生人數的差，求X的數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由兩組數據能完成男、女生成績的莖葉圖，并能求出男生的平均成績和女生的平均成績，由莖葉圖可以看出，男生的成績比較分散，女生的成績比較集中．
（Ⅱ）成績在80分以上（包括80分）的學生共有10人，其中男生6人，女生4人，X的所有可能取值為-2，0，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的數學期望．

解答 解：（Ⅰ）由兩組數據完成男、女生成績的莖葉圖，如下圖所示．
（2分）
男生的平均成績?yōu)?\overline x=\frac{1}{10}（3×90+3×80+70+3×60+1+3+3+6+6+5+7+9）=80$，
女生的平均成績?yōu)?\overline y=\frac{1}{10}（90+3×80+5×70+60+6+7+5+3+9+8+7+4+3+8）=80$，
∴男、女生的平均成績一樣．（5分）
由莖葉圖可以看出，男生的成績比較分散，女生的成績比較集中．（6分）
（Ⅱ）成績在80分以上（包括80分）的學生共有10人，其中男生6人，女生4人，
X的所有可能取值為-2，0，2，（7分）
$P（X=-2）=\frac{C_6^1C_4^3}{C_6^1C_4^3+C_6^2C_4^2+C_6^3C_4^1}=\frac{12}{97}$，（8分）
$P（X=0）=\frac{C_6^2C_4^2}{C_6^1C_4^3+C_6^2C_4^2+C_6^3C_4^1}=\frac{45}{97}$，（9分）
$P（X=2）=\frac{C_6^3C_4^1}{C_6^1C_4^3+C_6^2C_4^2+C_6^3C_4^1}=\frac{40}{97}$，（10分）
∴$E（X）=-2×\frac{12}{97}+0×\frac{45}{97}+2×\frac{40}{97}=\frac{56}{97}$．（12分）

點評 本小題主要考查莖葉圖的畫法和理解，古典概型，隨機變量的數學期望等基礎知識，考查運算求解能力、數據處理能力、應用意識，考查必然與或然思想、化歸與轉化思想．