Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．
（1）當(dāng)m=7時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題設(shè)知：|x+1|+|x﹣2|＞7，

不等式的解集是以下不等式組解集的并集： ，或 ，或 ，

解得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī仭�，�?）∪（4，+∞）

（2）解：不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，

∵x∈R時(shí)，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，

不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，

∴m+4≤3，m的取值范圍是（﹣∞，﹣1]

【解析】（1）由題設(shè)知：|x+1|+|x﹣2|＞7，解此絕對值不等式求得函數(shù)f（x）的定義域．（2）由題意可得，不等式即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，由于x∈R時(shí)，恒有|x+1|+|x﹣2|≥3，故m+4≤3，由此求得m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的定義域及其求法的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．