Question

在等差數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項(xiàng)和（n∈N^*），且a₂=3，S₄=16
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)已知條件建立方程組，進(jìn)一步求出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，進(jìn)一步確定通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）利用上步的結(jié)論，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差是d，
由已知條件得

a1+d=3 4a1+6d=16

解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=2n-1，
∴bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于基礎(chǔ)題型．