Question

【題目】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA1=2，AB=1，E為AD中點(diǎn)，F為CC1中點(diǎn).

（1）求證：AD⊥D1F；

（2）求證：CE//平面AD1F；

（3）求AA1與平面AD1F成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

長方體中有垂直關(guān)系，因此以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，

（1）求出兩條直線的方向向量，由向量垂直得直線垂直；

（2）求直線方向向量，平面的法向量，由方向向量與法向量垂直，證得線面平行；

（3）求直線方向向量，平面的法向量，由直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值等于線面角的正弦值，再計(jì)算余弦值．

（1）證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

A（1，0，0），D（0，0，0），D1（0，0，2），F（0，1，1），

=（-1，0，0），=（0，1，-1），

=0，

∴AD⊥D1F.

（2）證明：E（，0，0），C（0，1，0），A（1，0，0），

D1（0，0，2），F（0，1，1），

=（，-1，0）， =（-1，0，2）， =（-1，1，1），

設(shè)平面AD1F的法向量=（x，y，z），

則，取z=1，得=（2，1，1），

∵==0，CE平面AD1F，

∴CE//平面AD1F.

（3）解：=（0，0，2），平面AD1F的法向量=（2，1，1），

設(shè)AA1與平面AD1F成角為θ，

則sinθ===，

cosθ==.

∴AA1與平面AD1F成角的余弦值為.