Question

已知函數(shù)f（x）同時(shí)滿足下列五個(gè)條件：
（1）f（x+1）的定義域?yàn)閇-5，3]；
（2）f（x）+f（-x）=0；
（3）f（-1）=0；
（4）在[-4，0）上單調(diào)遞減；
（5）沒有最大值；
試解不等式x³f（x）≤0．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：依題意，可知奇函數(shù)y=f（x）在[-4，0）、（0，4]上單調(diào)遞減，且f（0）=0，f（-1）=f（1）=0，作出奇函數(shù)y=f（x）在[-4，4]上的圖象，再解不等式x³f（x）≤0即可．

解答： 解：∵f（x+1）的定義域?yàn)閇-5，3]，即x∈[-5，3]，
∴x+1x∈[-4，4]，即f（x）的定義域?yàn)閇-4，4]，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
又f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），∴y=f（x）為奇函數(shù)；
又f（-1）=0，f（x）在[-4，0）上單調(diào)遞減，
∴奇函數(shù)y=f（x）在（0，4]上單調(diào)遞減，且f（0）=0，f（1）=0，
∴奇函數(shù)y=f（x）在[-4，4]上的圖象如下：
∴x³f（x）≤0?

x≤0 f(x)≥0

或

x≥0 f(x)≤0

，
由圖可知，-4≤x≤-1或1≤x≤4或x=0，
∴不等式x³f（x）≤0的解集為{x|-4≤x≤-1或1≤x≤4或x=0}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的解法，突出考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查作圖能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．