Question

【題目】如圖，正三棱柱的所有棱長均，為棱（不包括端點）上一動點，是的中點．

（Ⅰ）若，求的長；

（Ⅱ）當在棱（不包括端點）上運動時，求平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）BD=1；（Ⅱ）（，].

【解析】【試題分析】(I)由得到平面,所以,由于,所以平面,所以,由此得到為的中點,所以.(I)以為空間坐標原點建立空間直角坐標系,利用兩個平面的法向量來求得它們夾角的余弦值的取值范圍.

【試題解析】

證明：（Ⅰ），由AC=BC，AE=BE，知CE⊥AB，

又平面ABC⊥平面ABB1A1，所以CE⊥平面ABB1A1

而AD平面ABB1A1，∴AD⊥CE，又AD⊥A1C所以AD⊥平面A1CE，

所以AD⊥A1E．易知此時D為BB1的中點，故BD=1．

（Ⅱ）以E為原點，EB為x軸，EC為y軸，

過E作垂直于平面ABC的垂線為z軸，

建立空間直角坐標系，設BD=t，

則A（-1，0，0），D（1，0，t），C1（0，，2），

=（2，0，t），=（1，，2），設平面ADC1的法向量=（x，y，z），

則，取x=1，得，

平面ABC的法向量=（0，01），設平面ADC1與平面ABC的夾角為θ，

∴cosθ====

由于t∈（0,2）,故cosθ∈（，]．

即平面ADC1與平面ABC的夾角的余弦值的取值范圍為（，]．