Question

2．已知直線l的極坐標(biāo)方程是ρcosθ-ρsinθ-1=0，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα-1}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)）．
（Ⅰ）求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）若直線l與x、y軸交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P為曲線C上任一點(diǎn)．求△PMN的面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的極坐標(biāo)方程是ρcosθ-ρsinθ-1=0，利用互化公式可得：直線l的直角坐標(biāo)方程．曲線C的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα-1}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得：曲線C的普通方．
（Ⅱ） 曲線C是以（-1，0）圓心，以1為半徑的圓，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：圓心到直線l的距離為d，|MN|=$2\sqrt{{r}^{2}-boqrem2^{2}}$，即可得出△PMN的面積的最小值．

解答 解：（Ⅰ）直線l的極坐標(biāo)方程是ρcosθ-ρsinθ-1=0，利用互化公式可得：直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y-1=0．
曲線C的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα-1}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得：曲線C的普通方程為（x+1）²+y²=1．
（Ⅱ） 曲線C是以（-1，0）圓心，以1為半徑的圓，
圓心到直線l的距離為$\frac{{|{-1-0-1}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
又|MN|=$2\sqrt{{r}^{2}-t7ahp10^{2}}$=$\sqrt{2}$，所以△PMN的面積的最小值是$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×（\sqrt{2}-1）=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．