Question

已知函數(shù)，其中.

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)的解析式；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）函數(shù)的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，在，內(nèi)是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)；（3）.

【解析】

試題分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)曲線在點(diǎn)處的切線方程為得到即，從中可求解出的值，進(jìn)而可確定函數(shù)的解析式；（2）針對(duì)導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分、兩類，由導(dǎo)數(shù)大于零求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于零可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）要使對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，只須，由（2）的討論，確定函數(shù)，進(jìn)而得到不等式即，該不等式組對(duì)任意的成立，從中可求得.

（1），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，于是

由切點(diǎn)在直線上可得，解得

所以函數(shù)的解析式為 3分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720175861727883/SYS201411172018143678609615_DA/SYS201411172018143678609615_DA.014.png">

當(dāng)時(shí)，顯然，這時(shí)在，內(nèi)是增函數(shù)

當(dāng)時(shí)，令，解得

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

 

所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù).......7分

（3）由（2）知，在上的最大值為與中的較大者，對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) 即對(duì)任意的成立，從而得，所以滿足條件的的取值范圍是．.................13分.

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；3.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù).