Question

16．已知M（2，0），N（0，-2），C為MN中點，點P滿足CP=$\frac{1}{2}$MN．
（1）求點P構成曲線的方程．；
（2）是否存在過點（0，-1）的直線l與（1）所得曲線交于點A、B，且A、B在y軸上投影為D、E，使$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OE}$=1，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題可知：點P在以MN為直徑的圓上，可得點P構成曲線的方程；
（2）A、B在y軸上投影為D、E，使$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OE}$=1，建立方程，求出k，即可得出結論．

解答 解：（1）由題可知：點P在以MN為直徑的圓上，
∴曲線C是圓心為MN中點C（1，-1），半徑r=$\frac{1}{2}$MN=$\sqrt{2}$．
∴曲線C的方程：（x-1）²+（y+1）²=2，
（2）若直線l的斜率不存在，
分類討論，利用∵直線l過點（0，-1），
∴直線l：x=0   此時A（0，0）B（0，-2）在y軸上投影即為本身，
∴與$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OE}$=1矛盾，
∴直線l的斜率存在，不妨設直線l：y=kx-1，
直線l與圓交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）滿足，
與圓的方程聯(lián)立，可得（1+k²）x²-2x-1=0，
由韋達定理可得：x₁+x₂=$\frac{2}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，
A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在y軸上投影D（0，y₁）、E（0，y₂），
∴1=$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OE}$═y₁y₂=（ k x₁-1）（ k x₂-1）=k²x₁x₂-k （x₁+x₂）+1，
=-$\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$-$\frac{2k}{1+{k}^{2}}$+1，即k²+2k=0∴k=0或-2，
∴直線l：y=-1 或 y=-2x-1 即：2x+y+1=0．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．