Question

15．設函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），設F（x）=ax²+f′（x）（a∈R）．F（x）是否存在極值？若存在，請求出極值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導函數(shù)f′（x），解不等式f′（x）＞0得出增區(qū)間，解不等式f′（x）＜0得出減區(qū)間；
（2）求F′（x），討論F′（x）=0的解的情況及F（x）的單調(diào)性得出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＞0解得x$＞\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0解得x$＜\frac{1}{e}$，
∴f（x）的增區(qū)間為（$\frac{1}{e}$，+∞），減區(qū)間為（0，$\frac{1}{e}$）．
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），
F′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$（x＞0）．
當a≥0時，F(xiàn)′（x）＞0恒成立，∴F（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴F（x）在（0，+∞）上無極值．
當a＜0時，令F′（x）=0得x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$或x=-$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$（舍）．
∴當0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$時，F(xiàn)′（x）＞0，當x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$時，F(xiàn)′（x）＜0，
∴F（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）上單調(diào)遞增，在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$時，F(xiàn)（x）取得極大值F（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）=$\frac{1}{2}$+ln$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$．
綜上：當a≥0時，F(xiàn)（x）無極值，
當a＜0時，F(xiàn)（x）有極大值$\frac{1}{2}+$ln$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，無極小值．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，極值的關系，分類討論思想，屬于中檔題．