Question

4．若函數(shù)f（x）是區(qū)間[a，b）上的增函數(shù)，也是區(qū)間[b，c]上的增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，c]上（　　）

• A． 是減函數(shù)
• B． 是增函數(shù)或減函數(shù)
• C． 是增函數(shù)
• D． 未必是增函數(shù)或減函數(shù)

Answer 1

分析 直接利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)判斷．

解答 解：當(dāng)x=b時(shí)，是一點(diǎn)，無所謂函數(shù)的增減性，增函數(shù)、減函數(shù)是函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，因此若函數(shù)f（x） 在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，在區(qū)間[b，c]上也是增函數(shù)，則f（x） 在區(qū)間[a，c]上一定是增函數(shù)．
 證明，如下：
任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，如果x₁，x₂∈[a，b]（或[b，c]上），由題意條件即知f（x₁）＜f（x₂），
如果x₁∈[a，b]，x₂∈[b，c]，則f（x₁）＜f（b）＜f（x₂），無論哪種情況下都有x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂），恒成立．f（x） 在區(qū)間[a，c]上一定是增函數(shù)．
而注意：本題是增減性不明，因?yàn)閒（x）不一定是連續(xù)的，只有當(dāng)f（x）圖象在[a，b）區(qū)間的最高點(diǎn)即f（b）比圖象在（[b，c）區(qū)間的最低點(diǎn)（即左端點(diǎn)）低，才能說函數(shù)在區(qū)間[a，c]上單調(diào)增，若函數(shù)在區(qū)間[b，c）有一個(gè)值比函數(shù)在[a，b）上的值�。ɡ�如f（x）圖象在[a，b）區(qū)間的最高點(diǎn)即右端點(diǎn)比圖象在[b，c）區(qū)間的最低點(diǎn)高），則不稱之為在[a，c]上的增函數(shù)．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考了函數(shù)的單調(diào)性中的連續(xù)性與不連續(xù)的判斷．