【題目】設(shè)為實(shí)數(shù),已知,
(1)若函數(shù),求的值;
(2)當(dāng)時(shí),求證:函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù);
(3)若對(duì)于一切,不等式恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1);(2)證明過程見解析;(3).
【解析】
(1)直接把代入函數(shù)解析式,得到方程,求出的值;
(2)求出函數(shù)的解析式,用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可;
(3)分類討論,把函數(shù)的解析式,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解析式、分式類型函數(shù)解析式形式,利用它們的單調(diào)性求出的取值范圍.
(1);
(2),當(dāng)時(shí),解析式可化簡(jiǎn)為:
,設(shè)是上任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),則有,
,
因?yàn)?/span>,,所以,因此有
,所以函數(shù)是上的遞增函數(shù);
(3)當(dāng)時(shí),而,所以,因?yàn)?/span>,所以有
在恒成立,設(shè),對(duì)稱軸為:,故在上是增函數(shù),要想(*)恒成立,只需
該不等式恒成立,故;
當(dāng)時(shí),, 此時(shí)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),要想在上恒成立,只需這與矛盾,故不成立;
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),當(dāng)時(shí),由(2)可知函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),所以函數(shù)在時(shí),最小值為
要想在上恒成立,只需,而,所以,綜上所述:的取值范圍為:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù),),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),直接寫出的普通方程和極坐標(biāo)方程,直接寫出的普通方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn) ,且曲線和交于兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線和曲線的參數(shù)方程分別為(為參數(shù)),(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出直線、曲線的普通方程,以及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線與曲線,在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】響應(yīng)“文化強(qiáng)國(guó)建設(shè)”號(hào)召,某市把社區(qū)圖書閱覽室建設(shè)增列為重要的民生工程.為了解市民閱讀需求,隨機(jī)抽取市民200人做調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明,樣本中所有人每天用于閱讀的時(shí)間(簡(jiǎn)稱閱讀用時(shí))都不超過3小時(shí),其頻數(shù)分布表如下:(用時(shí)單位:小時(shí))
用時(shí)分組 | ||||||
頻數(shù) | 10 | 20 | 50 | 60 | 40 | 20 |
(1)用樣本估計(jì)總體,求該市市民每天閱讀用時(shí)的平均值;
(2)為引導(dǎo)市民積極參與閱讀,有關(guān)部門牽頭舉辦市讀書經(jīng)驗(yàn)交流會(huì),從這200人中篩選出男女代表各3名,其中有2名男代表和1名女代表喜歡古典文學(xué).現(xiàn)從這6名代表中任選2名男代表和2名女代表參加交流會(huì),求參加交流會(huì)的4名代表中,喜歡古典文學(xué)的男代表多于喜歡古典文學(xué)的女代表的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“荊、荊、襄、宜七校聯(lián)考”正在如期開展,組委會(huì)為了解各所學(xué)校學(xué)生的學(xué)情,欲從四地選取200人作樣本開展調(diào)研.若來自荊州地區(qū)的考生有1000人,荊門地區(qū)的考生有2000人,襄陽(yáng)地區(qū)的考生有3000人,宜昌地區(qū)的考生有2000人.為保證調(diào)研結(jié)果相對(duì)準(zhǔn)確,下列判斷正確的有( )
①用分層抽樣的方法分別抽取荊州地區(qū)學(xué)生25人、荊門地區(qū)學(xué)生50人、襄陽(yáng)地區(qū)學(xué)生75人、宜昌地區(qū)學(xué)生50人;
②可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從所有考生中選出200人開展調(diào)研;
③宜昌地區(qū)學(xué)生小劉被選中的概率為;
④襄陽(yáng)地區(qū)學(xué)生小張被選中的概率為.
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著,以其名命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù),其中為實(shí)數(shù)集,為有理數(shù)集,則關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題:①;②函數(shù)是偶函數(shù);③任取一個(gè)不為零的有理數(shù),對(duì)任意的恒成立;④存在三個(gè)點(diǎn),,,使得為等邊三角形.其中真命題的個(gè)數(shù)有( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)棱垂直于底面, , , , , 分別為, 的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)求證:在棱上存在一點(diǎn),使得平面平面;
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,,側(cè)面底面,,,,分別為,的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上.
(Ⅰ)求證:平面.
(Ⅱ)若為的中點(diǎn),求證:平面.
(Ⅲ)如果直線與平面所成的角和直線與平面所在的角相等,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一幾何體的平面展開圖,其中為正方形,分別為的中點(diǎn),在此幾何體中,給出下面四個(gè)結(jié)論:①直線與直線異面;②直線與直線異面;③直線平面;④平面平面;其中正確的是_____.
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