Question

已知函數(shù)，且f（x）在x=1處取得極值．
（1）求b的值；
（2）若當(dāng)x∈[-1，]時(shí)，恒成立，求c的取值范圍；
（3）對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，]，是否恒成立？如果成立，給出證明，如果不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)f'（1）=0求出b的值；
（2）先求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，再轉(zhuǎn)化為解不等式即可；
（3）將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|，再在（2）的基礎(chǔ)上求出區(qū)間上的最小值即可證得
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224733605638705/SYS201311012247336056387018_DA/0.png">，
所以f′（x）=x²-3x+b．…（2分）
因?yàn)閒（x）在x=1處取得極值，所以f′（1）=1-3+b=0．解得b=2．…（4分）
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224733605638705/SYS201311012247336056387018_DA/1.png">．所以f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+		-		+
f（x）		單調(diào)遞增		單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

因此當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極大值．…（6分）
又，＜，
∴x∈[-1，]時(shí)，f（x）最大值為．…（7分）
∴．∴c＜-1或c＞2．…（8分）
（3）對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，]，恒成立．
由（2）可知，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值．
又，．
∴x∈[-1，]時(shí)，f（x）的最小值為-+c．…（10分）
∴，故結(jié)論成立．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的極值與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系以及函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法．導(dǎo)數(shù)時(shí)高考的熱點(diǎn)問題，每年必考要給予充分的重視．