Question

6．在極坐標(biāo)系中，與曲線ρ=cosθ+1關(guān)于直線θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）對稱的曲線的極坐標(biāo)方程是（　　）

• A． ρ=sin（$\frac{π}{3}$+θ）+1
• B． ρ=sin（$\frac{π}{3}$-θ）+1
• C． ρ=sin（$\frac{π}{6}$+θ）+1
• D． ρ=sin（$\frac{π}{6}$-θ）+1

Answer 1

分析 第一步：將對稱軸方程化為直角坐標(biāo)方程；
第二步：在已知曲線ρ=cosθ+1上任取一點(diǎn)，并化為直角坐標(biāo)；
第三步：求該點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)，并化為極坐標(biāo)形式；
第四步：將此極坐標(biāo)逐個(gè)代入四個(gè)選項(xiàng)中驗(yàn)證即可達(dá)到目的．

解答 解：由θ=$\frac{π}{6}$，得tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得對稱軸方程為$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$．
在方程ρ=cosθ+1中，取θ=$\frac{π}{2}$，則$ρ=cos\frac{π}{2}+1=1$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，得點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，1）的直角坐標(biāo)為（0，1），
則過點(diǎn)（0，1）且與直線$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$垂直的直線的直角坐標(biāo)方程為$y=-\sqrt{3}x+1$，
從而此兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為$（\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{1}{4}）$，
由中點(diǎn)公式，得點(diǎn)（0，1）關(guān)于直線$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$對稱的點(diǎn)為$（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}）$，
設(shè)其極坐標(biāo)為（ρ₀，θ₀），則$tan{θ}_{0}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，取${θ}_{0}=-\frac{π}{6}$，
又$ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（{-\frac{1}{2}）}^{2}}=1$，得點(diǎn)$（-\frac{π}{6}，1）$，
此點(diǎn)必在曲線ρ=cosθ+1關(guān)于直線θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）對稱的曲線上，
在四個(gè)選項(xiàng)中，只有選項(xiàng)C中的方程滿足．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化，及軸對稱問題的處理，難點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的求法，求解時(shí)應(yīng)善于運(yùn)用中點(diǎn)公式及兩直線互相垂直的充要條件．