Question

1．已知實數(shù)x，y滿足x＞y＞0，且x+y=$\frac{1}{2}$，則$\frac{2}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 令x-y=t，x+3y=s（s＞0，t＞0），解得x，y，再由條件可得s+t=1，則$\frac{2}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$=$\frac{2}{s}$+$\frac{1}{t}$=（s+t）（$\frac{2}{s}$+$\frac{1}{t}$），運用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：令x-y=t，x+3y=s（s＞0，t＞0），
則x=$\frac{1}{4}$（s+3t），y=$\frac{1}{4}$（s-t），
由x+y=$\frac{1}{2}$，可得s+t=1，
則$\frac{2}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$=$\frac{2}{s}$+$\frac{1}{t}$=（s+t）（$\frac{2}{s}$+$\frac{1}{t}$）=3+（$\frac{s}{t}$+$\frac{2t}{s}$）≥3+2$\sqrt{2}$．
當且僅當s=$\sqrt{2}$t=2-$\sqrt{2}$時，取得等號．
則$\frac{2}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．
另解：x＞y＞0，且x+y=$\frac{1}{2}$，即（x+3y）+（x-y）=1，
則$\frac{2}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$=[（x+3y）+（x-y）]（$\frac{2}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$）=3+$\frac{x+3y}{x-y}$+$\frac{2（x-y）}{x+3y}$
≥3+2$\sqrt{2}$（當且僅當x+3y=$\sqrt{2}$（x-y）時取得等號）
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，注意運用換元法和乘1法，以及等號成立的條件，屬于中檔題和易錯題．