Question

18．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于4，拋物線y²=2px的焦點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得的線段長為8，則拋物線方程為（　�。�

• A． y²=4x
• B． y²=4$\sqrt{2}x$
• C． y²=8$\sqrt{2}x$
• D． y²=16$\sqrt{2}x$

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線的焦點(diǎn)，漸近線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，求得b=4，再由拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，求得弦長，可得a=4，再由a，b，c的關(guān)系，可得c，即可得到p，進(jìn)而得到拋物線方程．

解答 解：設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的焦點(diǎn)為（c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
則焦點(diǎn)到其漸近線的距離為$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b=4，
拋物線y²=2px的焦點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，則有c=$\frac{p}{2}$，拋物線y²=4cx
雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得的線段長為8，
則令x=-$\frac{p}{2}$=-c，代入雙曲線方程，可得y=±$\frac{^{2}}{a}$．
則有$\frac{^{2}}{a}$=4，解得，a=4，即有c=$\sqrt{16+16}$=4$\sqrt{2}$，
故拋物線方程為y²=16$\sqrt{2}$x．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程和準(zhǔn)線方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．