Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=cosφ y=sinφ

（φ為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程為

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0，φ為參數(shù)）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：θ=α與C₁，C₂各有一個交點(diǎn)．當(dāng)α=0時，這兩個交點(diǎn)間的距離為2，當(dāng)α=

π

2

時，這兩個交點(diǎn)重合．
（I）分別說明C₁，C₂是什么曲線，并求出a與b的值；
（II）設(shè)當(dāng)α=

π

4

時，l與C₁，C₂的交點(diǎn)分別為A₁，B₁，當(dāng)α=-

π

4

時，l與C₁，C₂的交點(diǎn)為A₂，B₂，求四邊形A₁A₂B₂B₁的面積．

Answer 1

（Ⅰ）C₁是圓，C₂是橢圓．
當(dāng)α=0時，射線l與C₁，C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（1，0），（a，0），
因?yàn)檫@兩點(diǎn)間的距離為2，所以a=3
當(dāng)α=

π

2

時，射線l與C₁，C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（0，1）（0，b），
因?yàn)檫@兩點(diǎn)重合
所以b=1．
（Ⅱ）C₁，C₂的普通方程為x²+y²=1和

x2

9

+y2=1．
當(dāng)α=

π

4

時，射線l與C₁交點(diǎn)A₁的橫坐標(biāo)為x=

2

2

，
與C₂交點(diǎn)B₁的橫坐標(biāo)為x′=

3 10

10

．
當(dāng)α=-

π

4

時，射線l與C₁，C₂的兩個交點(diǎn)A₂，
B₂分別與A₁，B₁關(guān)于x軸對稱，因此四邊形A₁A₂B₂B₁為梯形．
故四邊形A₁A₂B₂B₁的面積為

(2x′+2x)(x′-x)

2

=

2

5

．