（11分）探究：是否存在常數(shù)a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)
對對一切正自然數(shù)n均成立，若存在求出a、b、c，并證明；若不存在，請說明理由.
設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，這時令n=1,2,3,有
證明見解析。
先令n=1,2,3建立關(guān)于a,b,c的三個方程，解出a,b,c的值.然后再證明時，也成立.由于是與n有關(guān)的證明問題，可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法進行證明.
設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，這時令n=1,2,3,有
于是，對n=1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n(n+1)2=
記Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2設(shè)n=k時上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)
那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)
=［3(k+1)2+11(k+1)+10］也就是說，等式對n=k+1也成立.
綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時，題設(shè)對一切正自然數(shù)n均成立.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

數(shù)列中，，其前n項和滿足，
(1)計算；
(2)猜想的表達式并用數(shù)學(xué)歸納法證明。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

對于數(shù)集，其中，，定義向量集. 若對于任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P.例如具有性質(zhì)P.
（1）若x＞2，且，求x的值；（4分）
（2）若X具有性質(zhì)P，求證：且當(dāng)xn＞1時，x1=1；（6分）
（3）若X具有性質(zhì)P，且x1=1，x2=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通
項公式.（8分）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知n是正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明時,若已假設(shè)n=k(k≥2且為偶數(shù))時命題為真,則還需證明(　　)
A．n=k+1時命題成立
B．n=k+2時命題成立
C．n=2k+2時命題成立
D．n=2(k+2)時命題成立

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

對于不等式某同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：
（1）當(dāng)時，，不等式成立
（2）假設(shè)時，不等式成立，即
那么時，

不等式成立根據(jù)（1）（2）可知，對于一切正整數(shù)不等式都成立。上述證明方法（    ）
A．過程全部正確B．驗證不正確
C．歸納假設(shè)不正確D．從到的推理不正確

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

證明時，假設(shè)當(dāng)時成立，則當(dāng)時，左邊增加的項數(shù)為（    ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知數(shù)列是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為，對于一切均有與2的等差中項等于與2的等比中項。
（1）計算并由此猜想的通項公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中你的猜想。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在數(shù)列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，則ak＋1等于(　　)
A．a(chǎn)k＋B．a(chǎn)k＋－
C．a(chǎn)k＋D．a(chǎn)k＋－

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

利用數(shù)學(xué)歸納法證明   時，從“”變到“”時，左邊應(yīng)增乘的因式是
A．B．C．D．

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