設曲線C是動點P到定點F(2,0)的距離和到定直線x=
1
2
的距離之比為2的軌跡.   
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)已知存在直線l經過點M(1,m)(m∈R),交曲線C于E,F(xiàn)兩點,使得M為EF的中點.
(i)求m的取值范圍; 
(ii)求|EF|的最小值.
考點:軌跡方程,直線與圓錐曲線的關系
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(I)設點P的坐標為P(x,y),則由題設知
(x-2)2+y2
|x-
1
2
|
=2
,化簡即可得出.
(II)設直線l的方程為y=k(x-1)+m,
(i)與雙曲線方程聯(lián)立可得(3-k2)x2+2k(k-m)x-(k-m)2-3=0,設E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),利用根與系數(shù)的關系與中點坐標公式可得
x1+x2
2
=1,化為km=3.
由△>0即可解得k的取值范圍.
(ii)利用弦長公式與基本不等式的性質即可得出.
解答: 解:(I)設點P的坐標為P(x,y),則由題設知
(x-2)2+y2
|x-
1
2
|
=2
,
化簡得x2-
y2
3
=1
即為曲線C的方程.
(II)由題設知,設直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=k(x-1)+m,
(i)聯(lián)立
y=k(x-1)+m
3x2-y2=3
,化為(3-k2)x2+2k(k-m)x-(k-m)2-3=0,①
設E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),故有3-k2≠0,
x1+x2=
2k(m-k)
3-k2
,x1x2=
-(k-m)2-3
3-k2

又M為EF的點,∴
x1+x2
2
=1,化為km=3.
此時方程①可化為x2-2x+1-
m2
3-k2
=0

由△>0解得
m2
3-k2
>0,∴k2<3,從而m2>3.
即m∈(-∞,-
3
)
(
3
,+∞)

(ii)∵|EF|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)[4+
4(k2+m2-3)
3-k2
]

=
4(1+k2)m2
3-k2
=
4(m2+9)m2
3(m2-3)

令t=m2-3(t>0),則|EF|2=
4
3
(t+
36
t
+15)
≥36,
當t=6,即m=±3時,|EF|min=6.
點評:本題考查了雙曲線的標準方程及其性質、直線與雙曲線相交問題轉化為方程聯(lián)立可得△>0及其根與系數(shù)的關系、中點坐標公式、弦長公式、基本不等式的性質,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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2
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