【題目】設橢圓的離心率為，以橢圓四個頂點為頂點的四邊形的面積為.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過橢圓E的右焦點作直線與E交于A，B兩點，O為坐標原點，求面積的最大值，并求此時直線的方程.

【答案】（1）；（2）面積的最大值為，此時直線的方程為：.

【解析】

（1）利用橢圓四個頂點構(gòu)成的四邊形面積、離心率和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，進而得到橢圓方程；

（2）①當直線斜率不存在時，易求得；②當直線斜率存在時，假設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式，利用弦長公式求得，利用點到直線距離公式求出，從而得到，利用函數(shù)求最值的方法可求得的范圍；綜合兩種情況可得最終結(jié)果.

（1）以橢圓四個頂點為頂點的四邊形的面積為，，

即…①，又…②，…③，

則①②③聯(lián)立可求得：，，，

橢圓的方程為：.

（2）①當直線斜率不存在時，則方程為，，

；

②當直線斜率存在時，可設其方程為：，由題意可知：，

由得：，

設，，則，，

，

又原點到直線距離，

，

令，則，

，，，，

，

綜上所述：面積的最大值為，此時直線的方程為：.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，平面，，，，為的中點.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩人在相同的條件下投籃5輪，每輪甲、乙各投籃10次，投籃命中次數(shù)的情況如圖所示（實線為甲的折線圖，虛線為乙的折線圖），則以下說法錯誤的是（ ）

A. 甲投籃命中次數(shù)的眾數(shù)比乙的小

B. 甲投籃命中次數(shù)的平均數(shù)比乙的小

C. 甲投籃命中次數(shù)的中位數(shù)比乙的大

D. 甲投籃命中的成績比乙的穩(wěn)定

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某旅游區(qū)每年各個月份接待游客的人數(shù)近似地滿足周期性規(guī)律，因而第個月從事旅游服務工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)來刻畫，其中正整數(shù)表示月份且，例如表示1月份，和是正整數(shù)，，. 統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個月份從事旅游服務工作的人數(shù)有以下規(guī)律：

① 每年相同的月份，該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)基本相同；

② 該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差400人；

③ 2月份該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多.

（1）試根據(jù)已知信息，求的表達式；

（2）一般地，當該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)在400或400以上時，該地區(qū)也進入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪幾個月是該地區(qū)的旅游“旺季”？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給定函數(shù)和，若存在常數(shù)，，使得函數(shù)和對其公共定義域的任何實數(shù)分別滿足和，則稱直線：為函數(shù)和的“隔離直線”，給出下列四組函數(shù)：

（1），； （2），；

（3），； （4），；

其中函數(shù)和存在“隔離直線”的序號是（ ）

A.（1）（3）B.（1）（3）（4）C.（1）（2）（3）D.（2）（4）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】共享單車因綠色、環(huán)保、健康的出行方式，在國內(nèi)得到迅速推廣.最近，某機構(gòu)在某地區(qū)隨機采訪了10名男士和10名女士，結(jié)果男士、女士中分別有7人、6人表示“經(jīng)常騎共享單車出行”，其他人表示“較少或不選擇騎共享單車出行”.

（1）從這些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“經(jīng)常騎共享單車出行”的概率；

（2）從這些男士中抽取一人，女士中抽取兩人，記這三人中“經(jīng)常騎共享單車出行”的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了調(diào)查某大學學生的某天上網(wǎng)的時間，隨機對名男生和名女生進行了不記名的問卷調(diào)查.得到了如下的統(tǒng)計結(jié)果：

表1：男生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表

上網(wǎng)時間（分鐘）

人數(shù)

表2：女生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表

上網(wǎng)時間（分鐘）

人數(shù)

（1）用分層抽樣在選取人，再隨機抽取人，求抽取的人都是女生的概率；

（2）完成下面的列聯(lián)表，并回答能否有的把握認為“大學生上網(wǎng)時間與性別有關(guān)”？

上網(wǎng)時間少于分鐘

上網(wǎng)時間不少于分鐘

合計

男生

女生

合計

附：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓M：與軸相切．

(1)求的值；

(2)求圓M在軸上截得的弦長；

(3)若點是直線上的動點，過點作直線與圓M相切，為切點，求四邊形面積的最小值．

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析：(1)先將圓的一般方程化成標準方程，利用直線和圓相切進行求解；(2) 令，得到關(guān)于的一元二次方程進行求解；(3)將四邊形的面積的最小值問題轉(zhuǎn)化為點到直線的的距離進行求解.

試題解析：(1) 　　∵圓M：與軸相切　　

∴　　　∴

(2) 令，則　　∴

　∴

(3)

　∵的最小值等于點到直線的距離，　

∴　∴

∴四邊形面積的最小值為．

【題型】解答題
【結(jié)束】
20

【題目】在平面直角坐標系中，圓的方程為，且圓與軸交于， 兩點，設直線的方程為．

（1）當直線與圓相切時，求直線的方程；

（2）已知直線與圓相交于， 兩點．

（�。┤�，求實數(shù)的取值范圍；

（ⅱ）直線與直線相交于點，直線，直線，直線的斜率分別為， ， ，

是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】是衡量空氣污染程度的一個指標，為了了解市空氣質(zhì)量情況，從年每天的值的數(shù)據(jù)中隨機抽取天的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示.將值劃分成區(qū)間、、、，分別稱為一級、二級、三級和四級，統(tǒng)計時用頻率估計概率 .

（1）根據(jù)年的數(shù)據(jù)估計該市在年中空氣質(zhì)量為一級的天數(shù)；

（2）按照分層抽樣的方法，從樣本二級、三級、四級中抽取天的數(shù)據(jù)，再從這個數(shù)據(jù)中隨機抽取個，求僅有二級天氣的概率.

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