Question

已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，A（-3，-4），B（5，-12）．
（1）求cos∠AOB和△AOB的面積；
（2）若四邊形AEBF為平行四邊形，且

EF

=（1，1），求平行四邊形AEBF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由題意可得

OA

和

OB

的坐標(biāo)，可得|

OA

|=5，|

OB

|=13，根據(jù)cos∠AOB=

OA • OB

| OA |•| OB |

的值，求得sin∠AOB 的值，從而求得△AOB的面積為

1

2

•|

OA

|•|

OB

|•sin∠AOB 的值．
（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y），則點(diǎn)F（1+x，1+y），根據(jù)

AE

=

FB

求得x和y的值．再由

AE

•

AF

=0，可得AE⊥AF，
平行四邊形AEBF為正方形，由此求得它的面積．

解答： 解：（1）由題意可得

OA

=（-3，-4），

OB

=（5，-12），∴|

OA

|=5，|

OB

|=13，
∴cos∠AOB=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

-15+48

5×13

=

33

65

，∴sin∠AOB=

3136

65

，
△AOB的面積為

1

2

•|

OA

|•|

OB

|•sin∠AOB=

3136

2

．
（2）若四邊形AEBF為平行四邊形，且

EF

=（1，1），設(shè)點(diǎn)E（x，y），則點(diǎn)F（1+x，1+y），
根據(jù)

AE

=

FB

 可得 （x+3，y+4）=（4-x，-13-y），解得x=

1

2

，y=-

17

2

．
∴

AE

=（

7

2

，-

9

2

），

AF

=（

9

2

，-

7

2

），∴

AE

•

AF

=0，AE⊥AF，
故平行四邊形AEBF為正方形，故它的面積為|

.

AE

|2=

49

4

+

81

4

=

65

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義、兩個向量的數(shù)量積公式、正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個向量垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．