Question

18．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右頂點分別為A，B，右焦點為F，離心率$e=\frac{1}{2}$，點P是橢圓C上異于A，B兩點的動點，△APB的面積最大值為$2\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線AP與直線x=2交于點D，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并作出證明．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，以及橢圓上點到x軸距離的最大值，計算即可得到a，b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）以BD為直徑的圓與直線PF相切．設(shè)直線AP：y=k（x+2）（k≠0），代入橢圓方程，運用韋達(dá)定理，可得P的坐標(biāo)，再由點到直線的距離公式和直線與圓相切的條件：d=r，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
當(dāng)P為橢圓的上頂點時，△APB的面積取得最大值
且為$\frac{1}{2}$•b•2a=$2\sqrt{3}$，
解得，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
所以橢圓方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）以BD為直徑的圓與直線PF相切．
證明：設(shè)直線AP：y=k（x+2）（k≠0），
可得D（2，4k），BD的中點為M為（2，2k）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，消去y整理得，
（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
設(shè)P（x₀，y₀），由韋達(dá)定理得，$-2{x_0}=\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
解得，${x_0}=\frac{{6-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，
故有，${y_0}=k（{{x_0}+2}）=\frac{12k}{{3+4{k^2}}}$，
又F（1，0），所以當(dāng)$k=±\frac{1}{2}$時，$P（{1，±\frac{3}{2}}）$，D（2，±2），此時PF⊥x軸，
以BD為直徑的圓（x-2）²+（y±1）²=1與直線PF相切；
當(dāng)$k≠±\frac{1}{2}$時，${k_{PF}}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}$，
所以直線PF：$y=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}（{x-1}）$，即$\frac{4k}{{1-4{k^2}}}x-y-\frac{4k}{{1-4{k^2}}}=0$，
所以點E到直線PF的距離d=$\frac{|\frac{8k}{1-{k}^{2}}-2k-\frac{4k}{1-{4k}^{2}}|}{\sqrt{（\frac{4k}{1-4{k}^{2}}）^{2}+1}}$=2|k|，
而BD=4k，即知d=$\frac{1}{2}$|BD|，所以以BD為直徑的圓與直線PF相切．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的離心率公式和橢圓的性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用判別式大于0和韋達(dá)定理，同時考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式和相切的條件，屬于中檔題．