Question

19．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{2}$cosxsin（x-$\frac{π}{4}$）+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值與最小值的和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由兩角差的正弦公式、二倍角公式和輔助角公式化簡，即可得到最小正周期．
（Ⅱ）由f（x）可確定單調(diào)增區(qū)間，由單調(diào)性找到最值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2$\sqrt{2}$cosxsin（x-$\frac{π}{4}$）+1=2sinxcosx-2cos²x+1=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=π．
（Ⅱ）∵f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
當2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$時，即-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，（k∈Z）
∴f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值為f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
最小值為f（$\frac{π}{12}$）=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，
∴最大值與最小值的和為0．

點評 本題考查兩角差的正弦公式、二倍角公式和輔助角公式，單調(diào)區(qū)間找最值．