Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²，其中a為正常數(shù)
（1）若x=2為f（x）的極值點，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）設(shè)h（x）=2x²+4，F(xiàn)（x）=f（x）+h（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當x∈[-1，1]時，設(shè)函數(shù)y=f（x）+a（x²-3x）的最大值為g（a），若關(guān)于a的方程g（a）-m=0有兩個不等實根，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由極值點出的導數(shù)等于0求得a的值，在求出f（1）及f′（1），則由點斜式可求切線方程；
（2）把f（x）和h（x）代入F（x）=f（x）+h（x），求導后根據(jù)a的范圍得到導函數(shù)兩零點的關(guān)系，由零點對定義域分段后討論在不同區(qū)間段內(nèi)導函數(shù)的符號，由此得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）把f（x）代入y=f（x）+a（x²-3x），求導后由a的范圍得到原函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求得函數(shù)在x∈[-1，1]時的最大值為g（a），而得到的g（a）都是關(guān)于a的單調(diào)函數(shù)，說明方程g（a）-m=0有兩個不等實根的m值不存在．

解答： 解：（1）由f（x）=x³-ax²，
得f′（x）=3x²-2ax，
∴f′（2）=12-4a，
∵x=2為f（x）的極值點，
∴12-4a=0，解得a=3．
∴f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x²-6x，
則f（1）=-2，f′（1）=-3．
∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y+2=-3（x-1），
即3x+y-1=0；
（2）由h（x）=2x²+4，f（x）=x³-ax²，
F（x）=f（x）+h（x）=x³-ax²+2x²-4，
F′(x)=3x2-(2a-4)x=3x(x-

2a-4

3

)，
若a=2，則F′（x）=3x²≥0，函數(shù)F（x）在R上為增函數(shù)；
若a＜2，當x∈（-∞，

2a-4

3

），（0，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，
當x∈（

2a-4

3

，0）時，F(xiàn)′（x）＜0．
∴F（x）的增區(qū)間為（-∞，

2a-4

3

），（0，+∞），減區(qū)間為（

2a-4

3

，0）．
若a＞2，當x∈（-∞，0），（

2a-4

3

，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，
當x∈（0，

2a-4

3

）時，F(xiàn)′（x）＜0．
∴F（x）的增區(qū)間為（-∞，0），（

2a-4

3

，+∞），減區(qū)間為（0，

2a-4

3

）；
（3）y=f（x）+a（x²-3x）=x³-ax²+ax²-3ax=x³-3ax，
y′=3x²-3a=3（x²-a），
若a≤0，y′≥0，函數(shù)在x∈[-1，1]上為增函數(shù)，最大值為g（a）=1-3a，
不滿足方程g（a）-m=0有兩個不等實根．
若a＞0，由y′=0，得x=±

a

，若

a

≥1，
即a≥1，在x∈[-1，1]上y′≤0，函數(shù)在x∈[-1，1]上為減函數(shù)，最大值g（a）=3a-1，不滿足方程g（a）-m=0有兩個不等實根．
若0＜a＜1，在[-1，-

a

），（

a

，1]上y′＞0，在（-

a

，

a

）上y′＜0，
∴g（a）=max{2a

a

，1-3a}，
不論g（a）=2a

a

還是g（a）=1-3a，函數(shù)g（a）都是單調(diào)函數(shù)，
∴使方程g（a）-m=0有兩個不等實根的m值不存在．

點評：本題考查了利用導數(shù)求曲線上某點的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，訓練了分類討論的數(shù)學思想方法，是難度較大的題目．