【題目】平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C:的離心率是,拋物線E:的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn),且位于第一象限,E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為D,直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.
(ⅰ)求證:點(diǎn)M在定直線上;
(ⅱ)直線與y軸交于點(diǎn)G,記△的面積為,△的面積為,求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)的最大值為,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為
【解析】
試題分析:(Ⅰ)根據(jù)橢圓的離心率和焦點(diǎn)求方程;(Ⅱ)(Ⅰ)由點(diǎn)P的坐標(biāo)和斜率設(shè)出直線l的方程和拋物線聯(lián)立,進(jìn)而判斷點(diǎn)M在定直線上;(Ⅱ)分別列出,面積的表達(dá)式,根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析:
(Ⅰ)由題意知,可得:.
因?yàn)閽佄锞的焦點(diǎn)為,所以,
所以橢圓C的方程為.
(Ⅱ)(Ⅰ)設(shè),由可得,
所以直線的斜率為,
因此直線的方程為,即.
設(shè),聯(lián)立方程
得,
由,得且,
因此,
將其代入得,
因?yàn)?/span>,所以直線方程為.
聯(lián)立方程,得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,
即點(diǎn)在定直線上.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直線方程為,
令得,所以,
又,
所以,
,
所以,
令,則,
當(dāng),即時(shí),取得最大值,此時(shí),滿足,
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,因此的最大值為,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形,在內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)落在內(nèi)切圓內(nèi)的概率是( )
A. B. C. D.
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【題目】過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),分別過作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為兩點(diǎn),以為直徑的圓過點(diǎn),則圓的方程為( )
A. B.
C. D.
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【題目】設(shè)是橢圓 的四個(gè)頂點(diǎn),菱形的面積與其內(nèi)切圓面積分別為, .橢圓的內(nèi)接的重心(三條中線的交點(diǎn))為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2) 的面積是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請(qǐng)說明理由.
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【題目】已知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+3x+2.若當(dāng)x∈[1,3]時(shí),n≤f(x)≤m恒成立,則m-n的最小值為( )
A. B. 2
C. D.
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【題目】若函數(shù)具備以下兩個(gè)條件:(1)至少有一條對(duì)稱軸或一個(gè)對(duì)稱中心;(2)至少有兩個(gè)零點(diǎn),則稱這樣的函數(shù)為“多元素”函數(shù),下列函數(shù)中為“多元素”函數(shù)的是_______.
①;②;③;④.
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【題目】從某校高三的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)了某次數(shù)學(xué)?伎荚嚦煽(jī)?nèi)绫恚?/span>
(1)請(qǐng)?jiān)陬l率分布表中的①、②位置上填上相應(yīng)的數(shù)據(jù),并在給定的坐標(biāo)系中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績(jī);
(2)從這100名學(xué)生中,采用分層抽樣的方法已抽取了 20名同學(xué)參加“希望杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽”,現(xiàn)需要選取其中3名同學(xué)代表高三年級(jí)到外校交流,記這3名學(xué)生中“期中考試成績(jī)低于120分”的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】在印度有一個(gè)古老的傳說:舍罕王打算獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明人一宰相西薩·班·達(dá)依爾.國(guó)王問他想要什么,他對(duì)國(guó)王說:“陛下,請(qǐng)您在這張棋盤的第1個(gè)小格里,賞給我1粒麥子,在第2個(gè)小格里給2粒,第3小格給4粒,以后每1小格都比前1小格加1倍.請(qǐng)您把這樣擺滿棋盤上所有的64格的麥粒,都賞給您的仆人吧!”國(guó)王覺得這要求太容易滿足了,就同意給他這些麥粒.當(dāng)人們把一袋一袋的麥子搬來開始計(jì)數(shù)時(shí),國(guó)王才發(fā)現(xiàn)就是把全印度甚至全世界的麥粒全拿來,也滿足不了那位宰相的要求.那么,宰相要求得到的麥粒到底有多少粒?如圖所示的程序框圖是為了計(jì)算上面這個(gè)問題而設(shè)計(jì)的,那么在“”和“”中,可以先后填入( )
A.B.
C.D.
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【題目】廣場(chǎng)舞是現(xiàn)代城市群眾文化、娛樂發(fā)展的產(chǎn)物,也是城市精神文明建設(shè)成果的一個(gè)重要象征.2018年某校社會(huì)實(shí)踐小組對(duì)某小區(qū)廣場(chǎng)舞的開展?fàn)顩r進(jìn)行了年齡的調(diào)查,隨機(jī)抽取了40名廣場(chǎng)舞者進(jìn)行調(diào)查,將他們年齡分成6段:,,,,,后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)廣場(chǎng)舞者年齡的頻率分布直方圖,估計(jì)廣場(chǎng)舞者的平均年齡;
(2)若從年齡在內(nèi)的廣場(chǎng)舞者中任取2名,求選中的兩人中恰有一人年齡在內(nèi)的概率.
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