【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx﹣3在x=1處取得極值,且在(0,﹣3)點(diǎn)處的切線與直線2x+y=0平行.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)g(x)=xf(x)+4x的單調(diào)遞增區(qū)間及極值.
(3)求函數(shù)g(x)=xf(x)+4x在x∈[0,2]的最值.
【答案】
(1)解:∵f(x)=ax2+bx﹣3,
∴f′(x)=2ax+b.
∵二次函數(shù)f(x)=ax2+bx﹣3在x=1處取得極值,且在(0,﹣3)點(diǎn)處的切線與直線2x+y=0平行,
∴ ,
解得a=1,b=﹣2.所以f(x)=x2﹣2x﹣3
(2)解:∵f(x)=x2﹣2x﹣3,
∴g(x)=xf(x)+4x=x3﹣2x2+x,
所以g′(x)=3x2﹣4x+1=(3x﹣1)(x﹣1).
令g′(x)=0,得 ,x2=1.
x | (﹣∞, ) | ( ,1) | 1 | (1,+∞) | |
g′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
g(x) | ↑ | 極大值 | ↓ | 極小值0 | ↑ |
所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣∞, ),(1,+∞).在x2=1有極小值為0.
在 有極大值
(3)解:∵g(0)=0,g(2)=2,
∴由(2)知:函數(shù)g(x)的最大值為2,最小值為0
【解析】(1)由f(x)=ax2+bx﹣3,知f′(x)=2ax+b.由二次函數(shù)f(x)=ax2+bx﹣3在x=1處取得極值,且在(0,﹣3)點(diǎn)處的切線與直線2x+y=0平行,知 ,由此能求出f(x).(2)由f(x)=x2﹣2x﹣3,知g(x)=xf(x)+4x=x3﹣2x2+x,所以g′(x)=3x2﹣4x+1=(3x﹣1)(x﹣1).令g′(x)=0,得 ,x2=1.列表討論能求出函數(shù)g(x)=xf(x)+4x的單調(diào)遞增區(qū)間及極值.(3)由g(0)=0,g(2)=2,結(jié)合(2)的結(jié)論,能求出函數(shù)g(x)的最大值和最小值.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程:x2+2(a﹣1)x+2a+6=0.
(Ⅰ)若該方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若該方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)根都大于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2(a﹣1)x+2a+6,x∈[﹣1,1],記此函數(shù)的最大值為M(a),最小值為N(a),求M(a),N(a)的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)F1、F2分別為橢圓Γ: =1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),若橢圓上一點(diǎn)M(1, )到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于4.又已知點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn),直線l交橢圓Γ于E、F兩點(diǎn)(E、F與A點(diǎn)不重合),且滿足AE⊥AF. (Ⅰ) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ) O為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)P滿足2 ,求直線AP的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點(diǎn),且CD⊥平面PAB.
(1)求證:AB⊥平面PCB;
(2)求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2bx,g(x)=|x﹣1|,若對(duì)任意x1 , x2∈[0,2],當(dāng)x1<x2時(shí)都有f(x1)﹣f(x2)<g(x1)﹣g(x2),則實(shí)數(shù)b的最小值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(n)=1+ + +…+ (n∈N*),計(jì)算得f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,由此推算:當(dāng)n≥2時(shí),有( )
A.f(2n)> (n∈N*)
B.f(2n)> (n∈N*)
C.f(2n)> (n∈N*)
D.f(2n)> (n∈N*)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且對(duì)任意的n∈N*都有Sn=2an﹣n,
(1)求數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1 , a2 , a3;
(2)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an , 并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(3)求證:對(duì)任意n∈N*都有 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是( )
A. 和
B.y=|1﹣x|和
C. 和y=x+1
D.y=x0和y=1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合P={m|﹣1<m≤0},Q={m|mx2+4mx﹣4<0對(duì)任意x恒成立},則P與Q的關(guān)系是( )
A.PQ
B.QP
C.P=Q
D.P∩Q=
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