【題目】已知關(guān)于x的方程:x2+2(a﹣1)x+2a+6=0.
(Ⅰ)若該方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若該方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)根都大于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2(a﹣1)x+2a+6,x∈[﹣1,1],記此函數(shù)的最大值為M(a),最小值為N(a),求M(a),N(a)的解析式.

【答案】解:(Ⅰ)∵該方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,∴△=4(a﹣1)2﹣4(2a+6)>0,

解得a<﹣1,或a>5;

(Ⅱ)該方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,根據(jù)(Ⅰ)便知,a<﹣1,或a>5,且這兩個(gè)根都大于1,

>1,

即﹣2a>

∴﹣a> ,

解得: ,

∴﹣

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(﹣ ,﹣1);

(Ⅲ)f(x)的對(duì)稱軸為x=1﹣a;

∴①1﹣a≤﹣1,即a≥2時(shí),f(x)在[﹣1,1]上單調(diào)遞增;

∴M(a)=f(1)=4a+5,N(a)=f(﹣1)=9;

②﹣1<1﹣a≤0,即1≤a<2時(shí),M(a)=f(1)=4a+5,N(a)=f(1﹣a)=﹣a2+4a+5;

③0<1﹣a<1,即0<a<1時(shí),M(a)=f(﹣1)=9,N(a)=f(1﹣a)=﹣a2+4a+5;

④1﹣a≥1,即a≤0時(shí),f(x)在[﹣1,1]上單調(diào)遞減;

∴M(a)=f(﹣1)=9,N(a)=f(1)=4a+5;

∴綜上得, ,N(a)=


【解析】(Ⅰ)由題意可知,二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,即得△>0求解即可。(Ⅱ)根據(jù)題意兩個(gè)根均大于一,由求根公式限制即得不等式,解出即可。(Ⅲ)由題意函數(shù)的對(duì)稱軸x=1﹣a,利用二次函數(shù)的性質(zhì),對(duì)a的值分情況a>1,和a<1討論即可得出 M ( a ),再對(duì)a分情況討論,a>2,0<a<2,a<0進(jìn)而得到N(a)。

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