【題目】設(shè)F1、F2分別為橢圓Γ: =1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),若橢圓上一點(diǎn)M(1, )到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于4.又已知點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn),直線l交橢圓Γ于E、F兩點(diǎn)(E、F與A點(diǎn)不重合),且滿足AE⊥AF. (Ⅰ) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ) O為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)P滿足2 ,求直線AP的斜率的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)依題意,可得2a=4,即a=2,又點(diǎn) 在橢圓上, 將點(diǎn)M(1, )代入橢圓方程可知 ,
解得:b2=3,
∴橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ;
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知A(2,0),設(shè)直線AE的方程為y=k(x﹣2),
,整理得:(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣12=0,
由韋達(dá)定理可知:2+xE= ,可得xE= ,
yE=k(xE﹣2)= ,
由于AE⊥AF,只要將上式的k換為﹣ ,
可得xF= ,yF= ,
由2 ,可得P為EF的中點(diǎn),
即有P( , ),
則直線AP的斜率為t= = ,
當(dāng)k=0時(shí),t=0;
當(dāng)k≠0時(shí),t= ,
再令s= ,可得t= ,
當(dāng)s=0時(shí),t=0;當(dāng)s>0時(shí),t= ≤ = ,
當(dāng)且僅當(dāng)4s= 時(shí),取得最大值;
當(dāng)s<0時(shí),t= ≥﹣ ,
綜上可得:直線AP的斜率的取值范圍是[﹣ , ]
【解析】(Ⅰ)由題意可得a=2,c=1,由a,b,c的關(guān)系可得b,進(jìn)而得到橢圓方程;(Ⅱ)設(shè)直線AE的方程為y=k(x﹣2),代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,可得E的坐標(biāo),由兩直線垂直可得F的坐標(biāo),再由直線的斜率公式,結(jié)合基本不等式即可得到斜率的最值,進(jìn)而得到所求范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面使用類比推理正確的是( )
A.直線a∥b,b∥c,則a∥c,類推出:向量 , ,則
B.同一平面內(nèi),直線a,b,c,若a⊥c,b⊥c,則a∥b.類推出:空間中,直線a,b,c,若a⊥c,b⊥c,則a∥b
C.實(shí)數(shù)a,b,若方程x2+ax+b=0有實(shí)數(shù)根,則a2≥4b.類推出:復(fù)數(shù)a,b,若方程x2+ax+b=0有實(shí)數(shù)根,則a2≥4b
D.以點(diǎn)(0,0)為圓心,r為半徑的圓的方程為x2+y2=r2 . 類推出:以點(diǎn)(0,0,0)為球心,r為半徑的球的方程為x2+y2+z2=r2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx. (Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)a>0時(shí),若f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為﹣2,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若對任意x1 , x2∈(0,+∞),當(dāng)x1≠x2時(shí)有 >0恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)求證f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù);
(2)求函數(shù)f(x)的值域;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)>0恒成立,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=2|x﹣4|﹣logax+2無零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為;
若函數(shù)f(x)=|2x﹣2|﹣b有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= +lnx,則( )
A.x=2為f(x)的極大值點(diǎn)??
B.x=2為f(x)的極小值點(diǎn)
C.x= 為f(x)的極大值點(diǎn)??
D.x= 為f(x)的極小值點(diǎn)
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【題目】已知一次函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,當(dāng)x∈[0,3]時(shí),值域?yàn)閇1,4].
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈[﹣1,8]時(shí),求函數(shù) 的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx﹣3在x=1處取得極值,且在(0,﹣3)點(diǎn)處的切線與直線2x+y=0平行.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)g(x)=xf(x)+4x的單調(diào)遞增區(qū)間及極值.
(3)求函數(shù)g(x)=xf(x)+4x在x∈[0,2]的最值.
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的短軸長為2,離心率 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)若斜率為k的直線過點(diǎn)M(2,0),且與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn).試求k為何值時(shí),三角形OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形.
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