Question

函數(shù)f（x）=log_ax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差為

1

2

，則a=（　�。�

• A、

  2

  或

  1

  4

• B、2或

  1

  2

• C、4
• D、4或

  1

  4

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及分類討論即可得到結(jié)論．

解答： 解：①若a＞1，則函數(shù)f（x）=log_ax在區(qū)間[a，2a]上單調(diào)遞增，
則滿足f（2a）-f（a）=

1

2

，
即log_a2a-log_aa=

1

2

，
則log_a2=

1

2

，解得a

1

2

=2，即

a

=2，
解得a=4．
②若0＜a＜1，則函數(shù)f（x）=log_ax在區(qū)間[a，2a]上單調(diào)遞減，
則滿足f（a）-f（2a）=

1

2

，
即log_aa-log_a2a=

1

2

，
則log_a2=-

1

2

，解得a-

1

2

=

1

a

=2，
解得a=

1

4

．
綜上a=

1

4

或4，
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，注意要對(duì)a進(jìn)行分類討論．