Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=t，a_n+1=2S_n+1（n∈N）．
（1）若t≠-

1

2

，求證：數列{S_n}不是等差數列；
（2）當t為何值時，數列{a_n}是等比數列，并求出該等比數列的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差關系的確定,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）把a_n+1=S_n+1-S_n代入a_n+1=2S_n+1化簡得：S_n+1=3S_n+1，利用待定系數法求出S_n+1+

1

2

=3（S_n+

1

2

），對t進行分類討論，分別利用等差、等比數列的定義進行判斷即可；
（2）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），兩式相減后化簡并求出a₂，利用等比數列的定義求出t的值，再求公比和首項，代入等比數列的前n項和公式求出S_n．

解答： 證明：（1）由a_n+1=2S_n+1可得S_n+1-S_n=2S_n+1，則S_n+1=3S_n+1，
設S_n+1+k=3（S_n+k），則S_n+1=3S_n+2k，即2k=1，解得k=

1

2

，
所以S_n+1+

1

2

=3（S_n+

1

2

），
則當a₁=t=-

1

2

時，S₁+

1

2

=0，所以S_n+1=-

1

2

，即S_n=-

1

2

，
此時數列{S_n}是以-

1

2

為首項、以0為公差的等差數列，
若a₁=t≠-

1

2

，S₁+

1

2

≠0，且滿足S_n+1+

1

2

=3（S_n+

1

2

），
所以數列{S_n+

1

2

}是以t+

1

2

為首項、以3為公比的等比數列，
此時數列{S_n}不是等差數列；
解：（2）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n（n≥2）．
又a₂=2S₁+1=3，所以a₂=2a₁+1=2t+1，
若數列{a_n}是等比數列，
則有

a2

a1

=3，即

2t+1

t

=3，解得t=1，
則當t=1時，數列{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列．
所以S_n=

1-3n

1-3

=

1

2

(3n-1)．

點評：本題考查等差、等比數列的定義，等比數列的前n項和公式，待定系數法的應用，以及數列a_n與S_n之間的關系式的靈活應用，考查分類討論思想，轉化與變形能力．