Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率e=

5

5

，過F₁的直線交橢圓于M、N兩點，且△MNF₂的周長為4

5

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)AB是過橢圓E中心的任意弦，P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個交點，求△APB面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用△MNF₂周長為4

5

，求出a，利用離心率e=

5

5

，求出c，進而求出b，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）線AB的方程為y=kx，線段AB的垂直平分線為y=-

1

k

x，分別與橢圓方程聯(lián)立，求出P的坐標(biāo)，|AB|，表示出△APB面積，換元，利用配方法，即可求△APB面積的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵△MNF₂周長為4

5

，
∴4a=4

5

，
∴a=

5

，
∵離心率e=

5

5

，
∴c=1，
∴b=

a2-c2

=2，
∴橢圓E的方程為

x2

5

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）直線AB的方程為y=kx，線段AB的垂直平分線為y=-

1

k

x，
y=-

1

k

x與橢圓方程聯(lián)立，可得x=±

20k2 4k2+5

，
∴可得P（

20k2 4k2+5

，-

1

k

20k2 4k2+5

），
P到直線AB的距離為d=|

k2+1

k

•

20k2 4k2+5

|
y=kx與橢圓方程聯(lián)立，可得x=±

20 4+5k2

∴|AB|=

1+k2

•2

20 4+5k2

∴S_△ABP=

1

2

|AB|d|=

1

2

1+k2

•2

20 4+5k2

•|

k2+1

k

•

20k2 4k2+5

|
令t=k²+1（t≥1），則S_△ABP=20•

t2 (5t-1)(4t+1)

=20•

1 -( 1 t - 1 2 )2+ 81 4

，
∵t≥1，
∴t=1，即k=0時，△APB面積的最小值為2

5

．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．