Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù).
（1）若函數(shù)滿足,且在定義域內(nèi)恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）若函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當時，試比較與的大小.

Answer 1

（1）；（2）；（3）

解析試題分析：（1）由代入函數(shù)解得a的值，既得函數(shù)的解析式，再由恒成立，分離變量得恒成立，利用導數(shù)求新函數(shù)的單調(diào)性，從而得的最小值，既得實數(shù)b的取值范圍；（2）先求導函數(shù)，若函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則恒成立，當時，，求函數(shù)的最大值，可得a的取值范圍；當時，，由于函數(shù)無最小值，則不恒成立，可得解；（3）由（1）知在（0,1）上單調(diào)遞減，則時，即，而時， ．                  
試題解析：（1）∵，∴a=1．f（x）=x²+x-xlnx.
由x²+x-xlnx≥bx²+2x，
令，可得在上遞減，
在上遞增，所以，即 
（2）
，，
時，函數(shù)在單調(diào)遞增．        
，
，

 ，
，必有極值，在定義域上不單調(diào).

（3）由（1）知在（0,1）上單調(diào)遞減
∴時，即 
而時， 
 ．
考點：1、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值；2、恒成立問題；3、不等式、函數(shù)及導函數(shù)的綜合應(yīng)用.