Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)D$（{1，\frac{3}{2}}）$在橢圓C上，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、P兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)N和M，且PM=MN，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，QM的延長線交橢圓于點(diǎn)B，過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂涎，垂足分別為A₁、B₁
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得點(diǎn)N平分線段A₁B₁？若存在，求求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的左右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)D$（{1，\frac{3}{2}}）$在橢圓C上，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）假設(shè)存在這樣的直線l：y=kx+m，則直線QM的方程為y=-3kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+36k²）x²-24kmx+4（m²-3）=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合已知條件，能求出直線l的方程．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)D$（{1，\frac{3}{2}}）$在橢圓C上，
∴由題意得$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}c}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）假設(shè)存在這樣的直線l：y=kx+m，∴M（0，m），N（-$\frac{m}{k}$，0），
∵PM=MN，∴P（$\frac{m}{k}$，2m），Q（$\frac{m}{k}，-2m$），
∴直線QM的方程為y=-3kx+m，
設(shè)A（x₁，y₁），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0，
∴${x}_{1}+\frac{m}{k}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，∴${x}_{1}=-\frac{3m（1+4{k}^{2}）}{k（3+4{k}^{2}）}$，
設(shè)B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+36k²）x²-24kmx+4（m²-3）=0，
∴x₂+$\frac{m}{k}$=$\frac{8km}{1+12{k}^{2}}$，∴x₂=-$\frac{m（1+4{k}^{2}）}{k（1+12{k}^{2}）}$，
∵點(diǎn)N平分線段A₁B₁，∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2m}{x}$，
∴-$\frac{3m（1+4{k}^{2}）}{k（3+4{k}^{2}）}-\frac{m（1+4{k}^{2}）}{k（1+12{k}^{2}）}$=-$\frac{2m}{k}$，∴k=$±\frac{1}{2}$，
∴P（±2m，2m），∴$\frac{4{m}^{2}}{4}+\frac{4{m}^{2}}{3}=1$，解得m=$±\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∵|m|=$\frac{\sqrt{21}}{7}$＜b=$\sqrt{3}$，∴△＞0，符合題意，
∴直線l的方程為y=$±\frac{1}{2}x±\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的探究與求法，考查推理誰論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想、化歸思想，是中檔題．