Question

9．已知橢圓${C_1}：\frac{x^2}{m^2}+{y^2}=1（{m＞1}）$與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$-y²=1（n＞0）的焦點(diǎn)重合，e₁，e₂分別為C₁，C₂的離心率，則（　　）

• A． m＞n且e₁e₂＞1
• B． m＞n且e₁e₂＜1
• C． m＜n且e₁e₂＞1
• D． m＜n且e₁e₂＜1

Answer 1

分析 由題意可得m²-1=n²+1，即m²=n²+2，由條件可得m＞n，再由離心率公式，即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意可得m²-1=n²+1，即m²=n²+2，
又m＞1，n＞0，則m＞n，
由e₁²•e₂²=$\frac{{m}^{2}-1}{{m}^{2}}$•$\frac{{n}^{2}+1}{{n}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}+1}{{n}^{2}+2}$$\frac{{n}^{4}+2{n}^{2}+1}{{n}^{4}+2{n}^{2}}$
=1+$\frac{1}{{n}^{4}+2{n}^{2}}$＞1，
則e₁•e₂＞1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線和橢圓的離心率的關(guān)系，考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，以及轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．