Question

5．計算$\fracy1ti6fm{dx}$${∫}_{\frac{1}{x}}^{\sqrt{x}}$cost²dt（x＞0）

Answer 1

分析 直接運用公式$\frac7zoc3y1{dx}$${∫}_{u（x）}^{v（x）}f（t）dt$=f[v（x）]v'（x）-f[u（x）]u'（x）計算．

解答 解：直接運用公式計算，公式如下：
$\frac1ml9shx{dx}$${∫}_{u（x）}^{v（x）}f（t）dt$=f[v（x）]v'（x）-f[u（x）]u'（x），
本題中，u（x）=$\frac{1}{x}$，v（x）=$\sqrt{x}$，f（t）=cost²，所以，
原式=f（$\sqrt{x}$）（$\sqrt{x}$）'-f（$\frac{1}{x}$）（$\frac{1}{x}$）'
=cosx•$\frac{1}{2\sqrt{x}}$+cos$\frac{1}{x^2}$•$\frac{1}{x^2}$，
即$\fracpuapvth{dx}$${∫}_{\frac{1}{x}}^{\sqrt{x}}cost^2dt$=cosx•$\frac{1}{2\sqrt{x}}$+cos$\frac{1}{x^2}$•$\frac{1}{x^2}$．

點評 本題主要考查了導數與定積分的運算，涉及公式的靈活應用，屬于中檔題．