Question

15．過圓C：x²+y²=4上一動點M作x軸的垂線段MD，D為垂足．若$\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MQ}$．
（1）求動點Q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線；
（2）設直線x=my+1與動點Q的軌跡交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為A′．試問：當m變化時，直線A′B與x軸的是否交于一個定點？若是，請寫出定點坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設出M點的坐標，由$\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MQ}$得到M的坐標，把M的坐標代入圓x²+y²=4整理得動點Q的軌跡方程．
（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，設出A，B的坐標，則A′的坐標可推斷出，利用韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，進而可表示出A′B的直線方程，把y=0代入求得x的表達式，把x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入求得x=4，進而可推斷出直線A′B與x軸交于定點（4，0）．

解答 解：（1）設Q（x，y），由題意D（x，0），M（x，y₁）
∵$\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MQ}$，∴y₁+0=2y，y₁=2y．
又∵M（x，y₁）在圓x²+y²=4上，∴x²+y₁²=4，
∴x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
∴點Q的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，表示焦點在x軸上的橢圓．
（2）由直線x=my+1與動點Q的軌跡方程，得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則A′（x₁，-y₁）．
且y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$．
經(jīng)過點A′（x₁，-y₁），B（x₂，y₂）的直線方程為$\frac{y+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$．
令y=0，則x=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
又∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．
∴當y=0時，x=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=4
這說明，直線A′B與x軸交于定點（4，0）．

點評 本題主要考查了橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系．考查了學生基礎知識的綜合運用．