Question

若關(guān)于x的不等式x²+|x+3a|＜2至少有一個(gè)正數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：我們將原不等式變形為：|x+3a|＜2-x²，我們?cè)谕�一坐�?biāo)系畫(huà)出y=2-x²（y＞0，x＞0）和 y=|x|兩個(gè)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想，易得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：原不等式變形為：|x+3a|＜2-x²，且 0＜2-x²．
在同一坐標(biāo)系畫(huà)出y=2-x²（y＞0，x＞0）和 y=|x|兩個(gè)函數(shù)圖象，
將絕對(duì)值函數(shù) y=|x|向左移動(dòng)當(dāng)右支經(jīng)過(guò) （0，2）點(diǎn)，-3a=-2，求得a=

2

3

．
將絕對(duì)值函數(shù) y=|x|向右移動(dòng)讓左支與拋物線y=2-x²（y＞0，x＞0）相切時(shí)，
由

y-0=-(x+3a) y=2-x2

可得x²-x-3a-2=0，由判別式△=0，求得a=-

3

4

．
數(shù)形結(jié)合可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-

3

4

，

2

3

），
故答案為：（-

3

4

，

2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次函數(shù)的圖象，及絕對(duì)值函數(shù)圖象，其中在同一坐標(biāo)中，畫(huà)出y=2-x²（y＞0，x＞0）和 y=|x|兩個(gè)圖象，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想得到答案，是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．