Question

已知三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的圖象必有一個(gè)對稱中心．判斷其圖象的對稱中心的流程圖如圖所示．對于函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，
①其對稱中心為

 

；
②計(jì)算f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+f（

4

2015

）+…+f（

2014

2015

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：程序框圖

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,算法和程序框圖

分析：由題意，對已知函數(shù)兩次求導(dǎo)得圖象關(guān)于某一點(diǎn)（a，b）對稱，即f（x）+f（2a-x）=2b，要求的式子可用倒序相加法求解，共有1007個(gè)2b，從而求出答案．

解答： 解：①根據(jù)題意，模擬程序框圖的運(yùn)行過程，知
∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，∴g（x）=f′（x）=x²-x+3，
∴h（x）=g′（x）=2x-1；
當(dāng)h（x）=0時(shí)，即2x-1=0，
解得x=

1

2

，
∴f（

1

2

）=1；
∴（

1

2

，1）是f（x）的對稱中心．
②由①知，f（x）+f（1-x）=2，
∴f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+f（

4

2015

）+…+f（

2014

2015

）
=[f（

1

2015

）+f（

2014

2015

）]+[f（

2

2015

）+f（

2013

2015

）]+…+[f（

1007

2015

）+f（

1008

2015

）]
=2×1007=2014．
故答案為：(

1

2

，1)，2014．

點(diǎn)評：本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意，對已知函數(shù)兩次求導(dǎo)，得出函數(shù)圖象的對稱中心（a，b）以及f（x）+f（2a-x）=2b，由此求出數(shù)列的和，是綜合題目．