Question

根據國際公法，外國船只不得進入離我國海岸線12海里以內的區(qū)域（此為我國領海，含分界線）．若外國船只進入我國領海，我方將向其發(fā)出警告令其退出．如圖，已知直線AB為海岸線，A，B是相距12海里的兩個觀測站，現發(fā)現一外國船只航行于點P處，此時我方測得∠BAP=α，∠ABP=β（0＜α＜π，0＜β＜π）．
（1）試問當α=30°，β=120°時，我方是否應向該外國船只發(fā)出警告？
（2）若tanα=

1

2

，則當β在什么范圍內時，我方應向該外國船只發(fā)出警告？

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：解三角形

分析：（1）過P作PH垂直AB于H，先根據已知求得∠APB，進而求得AB，進而表示出PH與12進行比較．
（2）先由正弦定理求得PB的表達式，進而取得PH的表達式，令PH≤12，求得β的范圍．

解答： 解：（1）如圖：過P作PH垂直AB于H，因為α=30°，β=120°，

所以∠APB=30°，所以AB=PB=12，
所以PH=ABsin60°=6

3

＜12，
所以應向該外國船只發(fā)出警告．
（2）在△ABP中，由正弦定理得：

AB

sin(π-α-β)

=

PB

sinα

，
所以PB=

12sinα

sin(π-α-β)

，
所以PH=PB•sin(π-β)=

12sinαsinβ

sin(π-α-β)

=

12sinαsinβ

sin(α+β)

，
令PH≤12，得

12sinαsinβ

sin(α+β)

≤12，即sinαsinβ≤sin（α+β），
所以sinαsinβ≤sinαcosβ+cosαsinβ，
又因為tanα=

1

2

，所以α為銳角，且sinα=

5

5

，cosα=

2 5

5

，
所以

5

5

sinβ≤

5

5

cosβ+

2 5

5

sinβ，即sinβ≥-cosβ，
故sinβ+cosβ≥0，即

2

sin(β+

π

4

)≥0，解得0＜β≤

3π

4

，
所以當0＜β≤

3π

4

時，我方應向該外國船只發(fā)出警告．

點評：本題主要考查了解三角形問題的實際應用．解題的關鍵時把文字描述語言轉化成數學模型．