Question

求函數(shù)y=log₂[ax²-（a+1）x+1]的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=ax²-（a+1）x+1，則函數(shù)y=log₂t，本題即求當(dāng)t＞0時，函數(shù)t的減區(qū)間．再分當(dāng)a=0、當(dāng)a＞0時、當(dāng)a＜0三種情況，分別求得函數(shù)t在函數(shù)y的定義域內(nèi)的減區(qū)間．

解答： 解：令t=ax²-（a+1）x+1，則函數(shù)y=log₂t，故本題即求當(dāng)t＞0時，函數(shù)t的減區(qū)間．
①當(dāng)a=0時，函數(shù)即y=log₂（1-x），它的減區(qū)間即函數(shù)的定義域，為（-∞，1）．
②當(dāng)a＞0時，t=ax²-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1），
若a∈（0，1），則

1

a

＞1，由t＞0求得函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（

1

a

，+∞），
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得t的減區(qū)間為（-∞，1）．
若a∈（1，+∞），則

1

a

＜1，由t＞0求得函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，

1

a

）∪（1，+∞），
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得t的減區(qū)間為（-∞，

1

a

）．
若a=1，t=（x-1）²，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得t的減區(qū)間為（-∞，1）．
③當(dāng)a＜0時，

1

a

＜0＜1，由t=ax²-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1）＞0，
求得函數(shù)的定義域?yàn)椋?span id="ggsvb1j" class="MathJye">

1

a

，1），利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得t在定義域內(nèi)的減區(qū)間為（

1+a

2a

，1）．

點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．