Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C經(jīng)過(guò)A（2，-2），B（1，1）兩點(diǎn)，且圓心在直線x-2y-2=0上．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為

1

5

，且△POQ的面積為

2

5

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）求出線段AB的垂直平分線的方程，與直線x-2y-2=0聯(lián)立，求得圓心坐標(biāo)，再求出圓的半徑，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求出PQ=4，分類討論，利用坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為

1

5

，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）因?yàn)锳（2，-2），B（1，1），所以k_AB=-3，AB的中點(diǎn)為(

3

2

，-

1

2

)，
故線段AB的垂直平分線的方程為y+

1

2

=

1

3

(x-

3

2

)，即x-3y-3=0，
由

x-3y-3=0 x-2y-2=0

，解得圓心坐標(biāo)為（0，-1）．…（4分）
所以半徑r滿足r²=1²+（-1-1）²=5．…（6分）
故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y+1）²=5．…（7分）
（2）因?yàn)?span id="2ue20eo" class="MathJye">S△OPQ=

1

2

×PQ×

1

5

=

2

5

，所以PQ=4．
①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，由坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為

1

5

知，直線l的方程為x=

1

5

或x=-

1

5

，經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)PQ≠4，不適合題意；            …（9分）
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，
由坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為d1=

|b|

k2+1

=

1

5

，得k²+1=25b²（*），…（11分）
又圓心到直線l的距離為d2=

|1+b|

k2+1

，所以PQ=2

5-d22

=2

5- (1+b)2 k2+1

=4，
即（1+b）²=k²+1（**），…（13分）
由（*），（**）解得

k=± 3 4 b= 1 4

．
綜上所述，直線l的方程為3x+4y-1=0或3x-4y+1=0．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．